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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 34

Nos Exercícios de 31 a 36, calcule a integral definida.

34 )   ∫ 0 π 3 t g 3 x sec ⁡ x . d x

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral podemos usar a identidade:

t g ² x = s e c ² x - 1

Então:

∫ 0 π 3 t g 3 x sec ⁡ x . d x = ∫ 0 π 3 t g   x . ( s e c ² x - 1 ) sec ⁡ x . d x = ∫ 0 π 3 t g   x . s e c ² x sec ⁡ x . d x - ∫ 0 π 3 t g   x sec ⁡ x . d x = ∫ 0 π 3 t g   x . sec ⁡ ( x ) x . - ∫ 0 π 3 t g   x sec ⁡ x . d x

Usando:

t g   x = s e n   x cos ⁡ x

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

= ∫ 0 π 3 t g   x . sec ⁡ ( x ) x . - ∫ 0 π 3 s e n   x cos ⁡ x . cos ⁡ x . d x = ∫ 0 π 3 t g   x . sec ⁡ x x . - ∫ 0 π 3 s e n   x . d x = sec ⁡ x π 3 0 - - cos ⁡ x π 3 0 = 1 cos ⁡ π 3 - 1 cos ⁡ 0 + cos ⁡ π 3 - cos ⁡ 0 = 1 1 2 - 1 1 + 1 2 - 1 = 1 2

Resposta

∫ 0 π 3 t g 3 x sec ⁡ x . d x = 1 2

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