Calcule:

∫ - ∞ + ∞ f ( x )   d x

Onde

f x = 1 1 x 2   s e   x ≤ 1 s e   x > 1

Passo 1

Primeiramente, vamos tentar visualizar essa função no plano, para podermos dividir a integral em algumas integrais.

A função é 1   s e     x ≤ 1 , então ela vai ser uma função constante entre - 1 e 1 . Para o restante dos valores a função é 1 / x 2 , vamos esboçar esse gráfico então

Então podemos dividir nossa integral em três, da seguinte forma

∫ - ∞ + ∞ f ( x )   d x = ∫ - ∞ - 1 1 x 2   d x + ∫ - 1 1 d x +   ∫ 1 + ∞ 1 x 2   d x

Como a função 1 / x 2 é par e simétrica, podemos dizer ainda que

∫ - ∞ - 1 1 x 2   d x = ∫ 1 + ∞ 1 x 2   d x

Resultando em

∫ - ∞ + ∞ f ( x )   d x = ∫ - 1 1 d x + 2 ∫ 1 + ∞ 1 x 2   d x

Passo 2

A primeira integral é elementar

∫ - 1 1 d x = x - 1   1 = 1 - - 1 = 2

A segunda integral é uma integral imprópria, então vamos aplicar o limite

∫ 1 + ∞ 1 x 2   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 1 A 1 x 2   d x

E agora resolvemos normalmente

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 1 A 1 x 2   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 1 A x - 2   d x

lim A → + ∞ ⁡ x - 1 - 1 1 A = lim A → + ∞ ⁡ - 1 x 1 A

Substituindo os limites de integração

= lim A → + ∞ ⁡ - 1 A + 1 = 1

Passo 3

Temos então

∫ - ∞ + ∞ f ( x )   d x = ∫ - 1 1 d x + 2 ∫ 1 + ∞ 1 x 2   d x

∫ - ∞ + ∞ f ( x )   d x = 2 + 2 ⋅ 1

∫ - ∞ + ∞ f ( x )   d x = 4

Resposta

4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados