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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 3h

Calcule:

int_(- oo)^(+ oo) f ( x ) d x

Onde

f (x) = {[[1],[(1)/(x^2)]] (s e |x| <= 1)/(s e |x| > 1))

Passo 1

Primeiramente, vamos tentar visualizar essa função no plano, para podermos dividir a integral em algumas integrais.

A função é 1 s e |x| <= 1 , então ela vai ser uma função constante entre - 1 e 1 . Para o restante dos valores a função é 1 // x^2 , vamos esboçar esse gráfico então

Então podemos dividir nossa integral em três, da seguinte forma

int_(- oo)^(+ oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^(- 1) (1)/(x^2) d x + int_(- 1)^1 d x + int_1^(+ oo) (1)/(x^2) d x

Como a função 1 // x^2 é par e simétrica, podemos dizer ainda que

int_(- oo)^(- 1) (1)/(x^2) d x = int_1^(+ oo) (1)/(x^2) d x

Resultando em

int_(- oo)^(+ oo) f ( x ) d x = int_(- 1)^1 d x + 2 int_1^(+ oo) (1)/(x^2) d x

Passo 2

A primeira integral é elementar

int_(- 1)^1 d x = [x]_(- 1)^( 1) = 1 - (- 1) = 2

A segunda integral é uma integral imprópria, então vamos aplicar o limite

int_1^(+ oo) (1)/(x^2) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_1^A (1)/(x^2) d x

E agora resolvemos normalmente

underset(A -> + oo)(lim) int_1^A (1)/(x^2) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_1^A x^(- 2) d x

underset(A -> + oo)(lim) [(x^(- 1))/(- 1)]_1^A = underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(x)]_1^A

Substituindo os limites de integração

= underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(A) + 1] = 1

Passo 3

Temos então

int_(- oo)^(+ oo) f ( x ) d x = int_(- 1)^1 d x + 2 int_1^(+ oo) (1)/(x^2) d x

int_(- oo)^(+ oo) f ( x ) d x = 2 + 2 * 1

int_(- oo)^(+ oo) f ( x ) d x = 4

Resposta

4

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