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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 8a

Sejam alpha e s , s > 0 , reais dados. Verifique que

int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s^2 + alpha^2) ( alpha != 0 )

Passo 1

Como estamos tratando de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t

Passo 2

Agora podemos resolver a integral

underset(A -> + oo)(l i m) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t

Usando a integração por partes

int f * g^' d t = f * g - int f^' * g d t

Neste caso nossas funções são

{[[f = sen alpha t],[g^' = e^(- s t)]]) -> (f^' = alpha cos alpha t)/(g = - (e^(- s t))/(s))

Então

underset(A -> + oo)(l i m) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t = underset(A -> + oo)(l i m) [- (e^(- s t))/(s) sen alpha t]_0^A + underset(A -> + oo)(l i m) (alpha)/(s) int_0^A e^(- s t) cos alpha t d t

Passo 3

Resolvendo o limite

underset(A -> + oo)(l i m) [- (1)/(s e^(s t)) sen alpha t]_0^A = underset(A -> + oo)(l i m) [- (1)/(s e^(s A)) sen alpha A + (1)/(s e^(s 0)) sen 0]

O seno de infinito é indeterminado, mas a função seno é limitada em - 1 e 1 , então por teorema do confronto podemos afirmar que

underset(A -> + oo)(l i m) [- (1)/(s e^(s A)) sen alpha A] = 0

Porque e^(s A) -> + oo , e temos

underset(A -> + oo)(l i m) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t = underset(A -> + oo)(l i m) (alpha)/(s) int_0^A e^(- s t) cos alpha t d t

Passo 4

Para a integral int_0^A e^(- s t) cos alpha t d t , vamos usar a integração por partes novamente

{[[f = cos alpha t],[g^' = e^(- s t)]]) -> (f^' = - alpha sen alpha t)/(g = - (e^(- s t))/(s))

underset(A -> + oo)(l i m) (alpha)/(s) int_0^A e^(- s t) cos alpha t d t = (alpha)/(s) [underset(A -> + oo)(l i m) [- (e^(- s t))/(s) cos alpha t]_0^A - underset(A -> + oo)(l i m) (alpha)/(s) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t]

Calculando o limite

underset(A -> + oo)(l i m) [- (1)/(s e^(s t)) cos alpha t]_0^A = underset(A -> + oo)(l i m) [- (1)/(s e^(s A)) cos alpha A + (1)/(s e^0) cos 0]

= (1)/(s)

Passo 5

Substituindo

underset(A -> + oo)(l i m) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s) [(1)/(s) - underset(A -> + oo)(l i m) (alpha)/(s) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t]

underset(A -> + oo)(l i m) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t = [(alpha)/(s^2) - underset(A -> + oo)(l i m) (alpha^2)/(s^2) int_0^A e^(- s t) sen alpha t d t]

int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s^2) - (alpha^2)/(s^2) int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t

int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t + (alpha^2)/(s^2) int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s^2)

(1 + (alpha^2)/(s^2)) int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s^2)

Fazendo MMC dentro do parêntese

((s^2 + alpha^2)/(s^2)) int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s^2)

Multiplicando dos dois lados pelo inverso da fração

int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s^2) * (s^2)/(s^2 + alpha^2)

int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s^2 + alpha^2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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