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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1j

Calcule:

int_1^(+ oo) (1)/(x^4) d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_1^(+ oo) (1)/(x^4) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_1^A (1)/(x^4) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente

underset(A -> + oo)(lim) int_1^A (1)/(x^4) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_1^A x^(- 4) d x

Lembrando que a integral de polinômio segue a regra

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

E isso vale para n != - 1 , então para n = - 4

= underset(A -> + oo)(lim) [(x^(- 3))/(- 3)]_1^A = underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(3 x^3)]_1^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(3 A^3) + (1)/(3)]

Com A -> + oo a primeira fração tende a 0 , logo

= (1)/(3)

Resposta

(1)/(3)

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