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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 9

Utilizando o Exerc. 8, calcule

int_0^(oo) e^(- s t) f (t) d t

Sendo:

  1. f (t) = sen t + 3 cos 2 t
  2. f (t) = 3 t + 2 e^(3 t) + t e^t

Passo 1

  1. int_0^(oo) e^(- s t) f (t) d t = int_0^(oo) e^(- s t) (sen t + 3 cos 2 t) d t

    Podemos separar a integral como soma de outras duas

    = int_0^(oo) e^(- s t) sen t d t + 3 int_0^(oo) e^(- s t) cos 2 t d t

    Vamos então usar

    int_0^(+ oo) e^(- s t) sen alpha t d t = (alpha)/(s^2 + alpha^2)

    int_0^(+ oo) e^(- s t) cos alpha t d t = (s)/(s^2 + alpha^2)

    Para a primeira integral alpha = 1 e para a segunda alpha = 2 , então

    int_0^(oo) e^(- s t) sen t d t + 3 int_0^(oo) e^(- s t) cos 2 t d t = (1)/(s^2 + 1) + 3 (s)/(s^2 + 4)

    Passo 2

int_0^(oo) e^(- s t) f (t) d t = int_0^(oo) e^(- s t) (3 t + 2 e^(3 t) + t e^t) d t

Como no item a, vamos dividir a integral em várias

= 3 int_0^(oo) e^(- s t) t d t + 2 int_0^(oo) e^(- s t) e^(3 t) d t + int_0^(oo) e^(- s t) t e^t d t

Usando então

int_0^(+ oo) e^(- s t) e^(alpha t) d t = (1)/(s - alpha)

int_0^(+ oo) e^(- s t) t d t = (1)/(s^2)

int_0^(+ oo) e^(- s t) t e^(alpha t) d t = (1)/((s - alpha)^2)

Temos

= 3 (1)/(s^2) + 2 (1)/(s - 3) + (1)/((s - 1)^2)

Resposta

  1. (1)/(s^2 + 1) + (3 s)/(s^2 + 4)

(3)/(s^2) + (2)/(s - 3) + (1)/((s - 1)^2)

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