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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 15

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

15. r = 2 + 3 c o s θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Primeiro vamos encontrar   d r d θ :

d r d θ = - 3 s e n θ

Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:

t g α = - 3 t g θ s e n θ + 2 + 3 c o s θ - 3 s e n θ - 2 + 3 c o s θ t g θ

Passo 2

As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois assim a inclinação será zero e a reta será horizontal:

- 3 t g θ s e n θ + 2 + 3 c o s θ = 0

Reescrevendo

- 3 s e n θ c o s θ s e n θ + 2 + 3 c o s θ = 0

- 3 s e n 2 θ + 2 c o s θ + 3 c o s 2 θ = 0

Utilizando a relação trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ

Substituindo:

- 3 + 3 c o s 2 θ + 2 c o s θ + 3 c o s 2 θ = 0

6 c o s 2 θ + 2 c o s θ - 3 = 0

c o s 2 θ + 1 3 c o s θ - 1 2 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

c o s θ = - 1 6 + 19 6 → θ ≅ 0,98   e   θ ≅ 5,31

Descartamos o valor negativo da raiz pois ele não corresponde a um ponto de reta horizontal tangente.

Agora podemos calcular o valor de r:

r = 2 + 3 - 1 6 + 19 6 = 3 2 + 19 2

E as coordenadas cartesianas para θ ≅ 0,98 serão:

x = 3 2 + 19 2 cos ⁡ 0,98 ≅ 2 , 05

y = 3 2 + 19 2 sen ⁡ 0,98 ≅ 3 , 05

E para θ ≅ 5,31 :

x = 3 2 + 19 2 cos ⁡ 5,31 ≅ 2,07

y = 3 2 + 19 2 sen ⁡ 5,31 ≅ - 3,05

Passo 3

Para as retas verticais, precisamos igualar o denominador a zero, para que a inclinação tenda para infinito:

- 3 s e n θ - 2 + 3 c o s θ t g θ = 0

Reescrevendo:

- 3 s e n θ - 2 + 3 c o s θ s e n θ c o s θ = 0

- 3 s e n θ c o s θ - 2 + 3 c o s θ s e n θ = 0

s e n θ - 6 c o s θ - 2 = 0

- 6 c o s θ - 2 = 0

c o s θ = - 1 3 → θ ≅ 1,91   e   θ ≅ 4,37

Calculando o valor de r:

r = 2 - 1 = 1

E as coordenadas cartesianas para θ ≅ 1,91 serão:

x = 1 . - 1 3 = - 1 3

y = 1 . s e n 1,91 ≅ 0,94

E para θ ≅ 4,37 :

x = - 1 3

y = 1 , s e n 4,37 ≅ - 0,94

Os pontos onde uma reta vertical tangencia serão - 1 3 , 0,94 e - 1 3 , - 0,94

Passo 4

O esboço do gráfico então será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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