Num triângulo, o ponto de intersecção das medianas, das alturas e o centro da circunferência circunscrita são colineares. Ache esses três pontos e comprove que eles são colineares no triângulo com vértices (2,8), (5,-1) e (6,6).

Para obter o ponto G, intersecção das medianas, precisamos saber que a mediana é um segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto:

O ponto G também é chamado de baricentro e pode ser calculado como a média dos vértices, ou seja:

Então:

O segundo ponto, O, é o encontro das alturas do triângulo. As alturas ligam os vértices à linha suporte do lado oposto fazendo um ângulo de 90°. Como o triângulo é obtusângulo, um ângulo maior que 90° (C), as alturas de dois vértices são externas e, consequentemente, o ponto O. Sendo assim, devemos prolongar as retas suportes para que o ângulo reto seja atingido e as medianas possam ser desenhadas:

A intersecção das alturas é denominada ortocentro, e para achá-lo precisamos descobrir as inclinações de pelo menos duas retas suportes. Vou optar pelas retas AC e BC.

Reta AC: passa pelos pontos A (2,8) e C (6,6). Com os pontos e a equação geral da reta podemos descobrir a inclinação:

Substituindo:

Reta BC: passa pelos pontos B (5,-1) e C (6,6). Com os pontos e a equação geral da reta podemos descobrir a inclinação:

Substituindo:

Agora precisamos saber que para duas retas serem perpendiculares entre si, o coeficiente angular deve ser o oposto do inverso da outra. Como as alturas são perpendiculares às retas suportes podemos calcular sua inclinação.

Altura BO: é perpendicular a reta suporte AC:

Como a altura passa pelo ponto B a equação é:

Altura AO: é perpendicular a reta suporte BC:

Como a altura passa pelo ponto A a equação é:

Como o ponto é comum às duas alturas temos a certeza de que, para ele, os valores de y devem ser iguais:

Substituindo o x em qualquer equação:

Então:

O último ponto, H, o centro da circunferência circunscrita. Precisamos saber que a circunferência para ser circunscrita deve passar pelos três vértices do triângulo:

Para calcular as coordenadas do ponto H (), também chamado de circuncentro, devemos observar que os três pontos dados (A, B e C) estão à mesma distância do centro H. Isso porque a distância do centro até qualquer ponto da circunferência é igual ao raio.

Sabendo que a fórmula para a distância entre dois pontos é:

Então:

Onde:

Em :

Em :

Resolvendo:

Para x:

Então:

Descobertos os três pontos, precisamos saber se são colineares.

Para definir se são colineares podemos definir a inclinação da reta entre GO e OH. Como temos o ponto O comum às duas retas, se a inclinação for igual poderemos afirmar a colinearidade.

Sabendo que:

Para a reta GO:

Para a reta OH:

Sendo assim, os três pontos são colineares.