Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 25

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme indicado. Para cada exercício, faça uma figura

mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

A região acima do eixo x e à direita da reta x   =   1 , limitada pelo eixo x , a reta x   =   1 e

a curva y   =   4   –   x ² ; retângulos inscritos.

Passo 1

Para começar vamos determinar as extremidades do nosso problema:

Nossa região está acima do eixo x sob a curva y = 4 - x ² no intervalo fechado 1,2 , já que a curva corta o eixo x no x   =   2 .

Dividindo f x = 4 - x ² em n subintervalos cada um com comprimento:

∆ x = 2 - 1 n = 1 n

Passo 2

Nosso i-ésimo subintervalo é [ x i - 1 , x i ] , onde i = 1 ,   2 ,   3 … ,   n .

Como o exercício nos pede a região por retângulos inscritos e f é decrescente em nosso intervalo [ 1,2 ] , o valor mínimo absoluto de f em [ x i - 1 , x i ] é f ( x i ) . Logo a nossa área é dada por:

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Já que nosso intervalo começa em 1, teremos x i = 1 + ( i ) ∆ x

Como f x = 4 - x ² ,

f x i = 4 -   x i ²

f x i = 4 - ( 1 + i ∆ x ) ²

Mas ∆ x = 1 n , assim:

f x i = 4 - 1 + i n ²

f x i = 4 - 1 + 2 i n + i 2 n 2

f x i = 3 - 2 i n + i 2 n 2

Passo 3

Aplicando o somatório de todos os subintervalos:

∑ i = 1 n f x i ∆ x = ∑ i = 1 n 3 - 2 i n - i 2 n 2 ⋅ 1 n

= 1 n ∑ i = 1 n 3 - 2 i n - i 2 n 2

Utilizando as regras da soma:

∑ k = 1 n a = a ⋅ n

∑ k = 1 n k = 1 2 n n + 1

∑ k = 1 n k 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Chegamos a:

= 1 n 3 ⋅ n - 2 n 1 2 n n + 1 - 1 n 2 1 6 n n + 1 2 n + 1  

= 1 n ⋅ n 3 - 1 + 1 n - 1 6 1 + 1 n 2 + 1 n

Finalmente, fazendo o limite quando n → + ∞ :

l i m n → ∞ 3 - 1 + 1 n - 1 6 1 + 1 n 2 + 1 n

= 3 - 1 - 1 6 ⋅ 2 = 5 3

A área da região é 5 3 unidades de área.

Passo 4

A figura abaixo mostra em verde a região o i-ésimo retângulo inscrito, onde a base é dada por ∆ x começando em x i - 1 e terminando em x i .

Resposta

A = 5 3   unidades de área.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma aproximação mais precisa com os métodos de integração numérica desta seção foi obtida aumentando o número de subdivisões do intervalo. Outra estratégia é usar o mesmonúmero de subintervalos, mas s
Suponha que f seja uma função contínua e não negativa no intervalo [ a , b ] , n seja par e subdivida o intervalo a , b em pontos igualmente espaçados a = x 0x 1· · ·x n = b . Denotemos y 0 = f ( x 0
Aproxime a integral usando a regra de Simpson S 10 e compare sua resposta com aquela produzida por algum recurso computacional provido de integração numérica. Expresse suas respostas com pelo menos qu
Aproxime a integral usando a regra de Simpson S 10 e compare sua resposta com aquela produzida por algum recurso computacional provido de integração numérica. Expresse suas respostas com pelo menos qu
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A aproximação S 50 de ∫ a b f x d x pela regra de Simpson corresponde a ∫ a b q x d x , em que o gráfico de q é composto de 2