Suponha que f seja uma função contínua e não negativa no intervalo [a, b] , n seja par e subdivida o intervalo [a, b] em pontos igualmente espaçados a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b . Denotemos y0 = f(x0) , y1 = f(x1) ,..., y_n = f(x_n) . Sejam g₁ , g₂ , ..., g_n/2 as funções

quadráticas da forma g_i(x) = A * x^2 + B * x + C tais que:

  • o gráfico de g₁ passa pelos pontos (x0, y0) , (x1, y1) e (x₂, y₂) ;
  • o gráfico de g₂ passa pelos pontos (x₂, y₂) , (x₃, y₃) e (x₄, y₄) ;
  • o gráfico de g_n/2 passa pelos pontos (x_n-2, y_n-2) , (x_n-1, y_n-1) e (x_n, y_n) .

Confira que a Fórmula (8) calcula a área sob o gráfico de uma função quadrática por partes, mostrando que

Passo 1

Aplicando a regra de Simpson usando sub-intervalos, devemos considerar um número impar de nós  N + 1 , de forma que ao dividirmos o intervalo [ a , b ] em  n / 2  sub-intervalos, obtemos os nós

x i = a + i h

Para i = 0 , ..., n , com  h = b - a n .

Assim, podemos considerar três nós em cada sub-intervalo [ y n - 2 , y n ] :

y n - 2 , y n - 1 ,   y n

para  j = 0 , ... , n / 2 , e aplicamos a regra de Simpson simples a cada um destes sub-intervalos. Como,

∫ a b f ( x ) d x = ∑ j = 1 n / 2 ∫ x 2 j - 2 x 2 j g j ( x ) d x

Logo,

S n = 1 3 b - a n [ y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 n - 2 + 4 n - 1 + y n )

Prontinho!!

Resposta

Demonstração.

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