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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 54

Suponha que f seja uma função contínua e não negativa no intervalo [ a , b ] , n seja par e subdivida o intervalo a , b em pontos igualmente espaçados a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b . Denotemos y 0 = f ( x 0 ) , y 1 = f ( x 1 ) ,..., y n = f ( x n ) . Sejam g 1 , g 2 , ..., g n / 2 as funções

quadráticas da forma g i ( x ) = A x 2 + B x + C tais que:

  • o gráfico de g 1 passa pelos pontos ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) ;
  • o gráfico de g 2 passa pelos pontos ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) e ( x 4 , y 4 ) ;
  • o gráfico de g n / 2 passa pelos pontos ( x n - 2 , y n - 2 ) , ( x n - 1 , y n - 1 ) e ( x n , y n ) .

Confira que a Fórmula (8) calcula a área sob o gráfico de uma função quadrática por partes, mostrando que

Passo 1

Aplicando a regra de Simpson usando sub-intervalos, devemos considerar um número impar de nós  N + 1 , de forma que ao dividirmos o intervalo [ a , b ] em  n / 2  sub-intervalos, obtemos os nós

x i = a + i h

Para i = 0 , ..., n , com  h = b - a n .

Assim, podemos considerar três nós em cada sub-intervalo [ y n - 2 , y n ] :

y n - 2 , y n - 1 ,   y n

para  j = 0 , ... , n / 2 , e aplicamos a regra de Simpson simples a cada um destes sub-intervalos. Como,

∫ a b f ( x ) d x = ∑ j = 1 n / 2 ∫ x 2 j - 2 x 2 j g j ( x ) d x

Logo,

S n = 1 3 b - a n [ y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 n - 2 + 4 n - 1 + y n )

Prontinho!!

Resposta

Demonstração.

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