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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.3 - Ex. 22

Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada

Esfera centrada em (2,-1,3) e raio 4

Passo 1

A questão nos dá o raio da esfera a = 4 e o centro dela no ponto 2 , - 1,3 .

A distância entre a origem e o ponto central é: r c = 2 i - 1 j + 3 k

A equação de uma esfera centrada na origem é:

r → ( u , v ) e s f e r a   o r i g e m = a cos ⁡ v cos ⁡ u i → + a cos ⁡ v sen ⁡ u j → + a sen ⁡ u k →

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

Para centralizar a esfera em um ponto qualquer, basta adicionar o vetor r c

r → u , v = r → u , v e s f e r a   o r i g e m + r c

Passo 2

Aplicando:

r → u , v = r → u , v e s f e r a   o r i g e m + r c

r → u , v = 4 cos ⁡ v cos ⁡ u i → + 4 cos ⁡ v sen ⁡ u j → + 4 sen ⁡ u k → + 2 i → - 1 j → + 3 k →

r → u , v = ( 4 cos ⁡ v cos ⁡ u + 2 ) i → + ( 4 cos ⁡ v sen ⁡ u - 1 ) j → + ( 4 sen ⁡ u + 3 ) k →

As componentes são:

x = 4 cos ⁡ v cos ⁡ u + 2

y = 4 cos ⁡ v sen ⁡ u - 1

z = 4 sen ⁡ u + 3

Resposta

x = 4 cos ⁡ v cos ⁡ u + 2

y = 4 cos ⁡ v sen ⁡ u - 1

z = 4 sen ⁡ u + 3

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

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