Enunciado

Determine uma representação paramétrica para a superfície.

A parte do plano z = x + 3 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Fala, galera!

Precisamos fazer uma representação paramétrica da superfície definida pelo plano

z = x + 3

Que está dentro do cilindro

x 2 + y 2 = 1

Podemos ver através desse gráfico a superfície que estamos procurando:

Como estamos trabalhando com um cilindro, podemos converter tudo para coordenadas polares, onde

x = r cos ⁡ θ                 y = r sen ⁡ θ                 z = z

r 2 = x 2 + y 2

Passo 2

Temos então que:

x 2 + y 2 = 1

r 2 = 1

Vamos substituir o plano z :

x = r cos ⁡ θ                 y = r sen ⁡ θ                 z = r cos ⁡ θ ⏟ x + 3

É simples ver que θ vai de 0 a 2 π e r vai de 0 a 1 .

Assim as equações paramétricas serão:

x = r cos ⁡ θ                 y = r sen ⁡ θ                 z = r cos ⁡ θ + 3 ,       0 ≤ θ ≤ 2 π ;       0 ≤ r ≤ 1

Resposta

x = r cos ⁡ θ                 y = r sen ⁡ θ                 z = r cos ⁡ θ + 3 ,       0 ≤ θ ≤ 2 π ;       0 ≤ r ≤ 1

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