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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 29

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

29-

y = s e c - 1 1 t ,   0 < t < 1

Passo 1

Podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

s e c y = 1 t

Só que como a secante pode ser escrito como o inverso do cosseno, da seguinte forma:

1 c o s ⁡ ( y ) = 1 t

cos ⁡ y = t

O que pode ser visto da seguinte forma também

cos - 1 ⁡ t = y

Passo 2

Utilizando a equação t = cos ⁡ y

Derivando em relação a t d d t nos dois lados temos:

1 = - sin ⁡ y × d y d t

d y d t = - 1 sin ⁡ y  

Passo 3

Como temos sin ⁡ y   na nossa equação mas temos somente o valor de cos ⁡ y   vamos usar a relação fundamental para fazer essa troca:

cos 2 ⁡ y + s e n 2 y = 1

sin ⁡ y = 1 - cos 2 ⁡ y

Aplicando a substituição temos:

d y d t = - 1 1 - cos 2 ⁡ y

Como cos ⁡ y = t

d y d t = - 1 1 - t 2

Resposta

d y d t = - 1 1 - t 2

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