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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 38

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

38-

y = s 2 - 1 - sec - 1 ⁡ s

Passo 1

Fazendo a derivada em relação a s d s d t da expressão acima temos:

d y d s = 2 s 2 s 2 - 1 - d d s ( sec - 1 ⁡ s )

Passo 2

Fazendo a derivada da arco secante :

z = sec - 1 ⁡ ( s )

Onde z é somente uma variável intermediária.

sec ⁡ z = s

Fazendo a derivada em relação a s , a derivada da secante foi provada no exercício 25:

t g   z × sec ⁡ x × d z d s = 1

d z d s = 1 t g   z × sec ⁡ z

Temos o valor da secante mas não da tangente:

sin 2 ⁡ z + cos 2 ⁡ z = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ z

t g 2 z + 1 = sec 2 ⁡ z

t g z = ± sec 2 ⁡ z - 1

Substituindo:

d z d s = 1 s × ± s 2 - 1 = 1 s s 2 - 1

Passo 3

Se substituirmos na nossa equação diferencial encontramos:

d y d s = s s 2 - 1 - 1 s s 2 - 1

d y d s = s s - 1 s s 2 - 1

Resposta

d y d s = s s - 1 s s 2 - 1

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