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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 33

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

33-

y = l n ( t g - 1   x )

Passo 1

Fazendo a derivada em relação a x d d x da função acima temos:

d y d x = d d x ( ln ⁡ ( t g - 1   x ) ) ×   d d x ( t g - 1 x )

Onde temos que aplicar a regra da cadeia na função:

d y d x = 1 t g - 1 x × d d x ( t g - 1 x )

Passo 2

Onde precisamos determinar a derivada do arco tangente antes de prosseguir com cálculo pra isso fazer uma conta separada:

t = t g - 1 x

t g   t = x

Fazendo a derivada em relação a x d d x da função acima temos:

d t d x × d d x t g   t = 1  

Derivada da tangente:

d d x t g   x = d d x sin ⁡ x cos ⁡ x = ( sin ⁡ x ) ' ( cos ⁡ x ) - ( sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) ' cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

d t d x = 1 sec 2 ⁡ t

Da relação fundamental da trigonometria temos:

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Dividindo tudo por cos 2 ⁡ x :

t g 2 t + 1 = sec 2 ⁡ t

Já temos a sec 2 ⁡ x

Substituindo:

d t d x = 1 1 + t g 2 t

Como t g   t = x logo t g 2 t = x 2

Substituindo temos:

d t d x = 1 1 + x 2

Passo 3

Agora já sabemos o valor da derivada do arco tangente e podemos substituir na expressão do final do passo 1!

Fazendo essa substituição temos:

d y d x = 1 t g - 1 x ( 1 + x 2 )

Resposta

d y d x = 1 t g - 1 x ( 1 + x 2 )

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