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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 28

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

28-

y ' = c o s s e c - 1 x 2

Passo 1

Podemos escrever a função acima da seguinte forma:

c o s s e c y = x 2

Pois y é o ângulo cuja cossecante vale x 2 , logo a cossecante de y é x 2 .

Passo 2

Agora se fizermos a derivada em relação a x nos dois lados da função acima nós obteremos:

d d x c o s s e c y = 1 2

Porém precisamos fazer a derivada da cossecante que pode ser obtida da seguinte forma:

d d y c o s s e c y = d d y 1 sin ⁡ y = 1 ' ( sin ⁡ y ) - 1 ( sin ⁡ y ) ' sin 2 ⁡ y = - cos ⁡ y sin 2 ⁡ y

Logo:

d d y c o s s e c   y = - c o t g   y × c o s s e c   y

Aplicando então essa derivada sem esquecer da regra da cadeia temos:

- c o t g   y × c o s s e c   y × d y d x = 1 2

d y d x = - 1 2 × c o t g   x × c o s s e c   x

Passo 3

Como temos o valor da cossecante mas não temos o valor da cotangente. Para ter esse valor precisamos adquirir ele pela relação fundamental.

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo a expressão acima por sin 2 ⁡ y temos:

1 + c o t g 2 y = c o s s e c 2 y

Isolando agora a cotangente temos:

c o t g   y = c o s s e c 2 y - 1

Substituindo os valores:

d y d x = - 1 2 × x 2 × ± x 2 4 - 1

Cortando 2 temos:

d y d x = - 1 x × ± x 2 - 4 4

d y d x = - 1 x 2 × ± x 2 - 4

d y d x = - 2 | x | × x 2 - 4

Resposta

d y d x = - 2 | x | × x 2 - 4

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