Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.1 - Ex. 40
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.
40)
Passo 1
Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo existe um . Para começar vamos definir os valores de . Dada a definição de limite:
Assumimos que:
Sendo assim:
Para encontrar um o primeiro passo é substituir na desigualdade:
Passo 2
Substituindo :
Fatorando:
Como o módulo de um número negativo é igual ao seu módulo positivo:
Pela definição de módulo:
Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:
Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a sendo assim podemos assumir que :
Removendo o módulo:
A partir desta desigualdade podemos chegar a subtraindo 4 aos seus termos:
Usando as propriedades de módulo para intervalos negativos:
Então
Substituindo :
Isso significa que devemos impor sobre duas restrições, . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos
Assim, estabelecemos que tendo escolhido para todo a seguinte afirmativa é verdadeira:
se
então
Isso prova que