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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 27c

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

27 –

C – A reta y = 8 5 .

Passo 1

Observe que os limites da figura do eixo apresentado é o 1 e 0, logo este será nosso limite integração.

Para o raio teremos: 8 5 - y   , pois a reta indica para y = 8 5 .

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

V =   2 π ∫ 0 1 ( 8 5 - y ) 12 ( y 2 - y 3 ) d y = 2 π ∫ 0 1 8 5 - y 12 y 2 - 12 y 3 d y = 2 π ∫ 0 1 96 5 y 2 - 156 5 y 3 + 12 y 4   d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 96 5 ⋅ y 3 3 - 156 5 ⋅ y 4 4 + 12 y 5 5 0 1 = 2 π 96 y 3 15 - 156 y 4 20 + 12 y 5 5 0 1

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 96 ⋅ 1 3 15 - 156 ⋅ 1 4 20 + 12 ⋅ 1 5 5 - 96 ⋅ 0 3 15 - 156 ⋅ 0 4 20 + 12 ⋅ 0 5 5

V = 2 π 96 15 - 156 20 + 12 5 - 0  

V = 2 π 1 =   2 π   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

2 π u . v .

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