44- Deduza a equação do volume de uma esfera de raio usando o método da casca.
Passo 1
A seção transversal de uma esfera é um semicircunferência tal como a que está descrita na figura abaixo:
Onde se rotacionarmos em , temos nossa esfera de raio .
Além de termos duas circunferências com equações iguais a:
Passo 2
Aplicando o raciocínio da integral de volume por cascas cilíndricas temos:
Traçando um cilindro na nossa esfera formada temos um raio de giro igual ao eixo (uma vez que vamos girar nossa figura em torno do eixo , a altura igual a diferença das duas funções e a espessura sendo o . Logo:
O que dá:
Passo 3
Aplicando a substituição:
Temos:
E os intervalos de integração se transformam para:
Para :
Para :
O que transforma nossa integral para:
Integrando: