47- Determine o volume do sólido da região limitada pelos gráficos de y = e^(-x^2) , y = 0 , x = 0 e x = 1 obtido com a rotação em torno do eixo y .

Passo 1

A região descrita pelo sólido tem a seguinte cara:

Passo 2

Fazendo o volume pelo método dos discos nós teríamos que isolar x pois ele seria nosso raio, o que não dá uma integral muito simples de resolver.

Agora por cascas cilíndricas teríamos x como raio e y como a altura tendo:

V = ∫ 0 1 2 π   x × e - x 2 d x

Substituindo u = - x 2 teríamos:

- d u = 2 x   d x

E os intervalos iguais a:

Para x = 0 :

u = - 0 2 = 0

Para x = 1 :

u = - 1 2 = - 1

Logo nossa integral fica:

V = ∫ 0 - 1 - π e u d u = - π e u 0 - 1 = - π e - 1 + π e 0 = π ( 1 - e - 1 )

Resposta

V = π ( 1 - e - 1 )

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