Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 28

Nos exercícios de 25 a 28, ache o valor exato da integral definida usando a definição; não utilize o teorema fundamental do cálculo.

Passo 1

Vejamos que a definição de integral é:

∫ f x d x = lim Δ x → 0 ⁡ ∑ i = 0 n f x i * Δ x

Onde Δ x = b - a n   e   x i * = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a

Passo 2

Substituindo x = u - 1 , teremos:

∫ - 1 3 x 2 - 1 2 d x = ∫ 0 4 u - 1 2 - 1 2 d u = ∫ 0 4 u 2 + 2 u 2 d u = ∫ 0 4 ( u 4 + 4 u 3 + 4 u 2 ) d u

Passo 3

Daí, teremos que:

∫ 0 4 u 4 + 4 u 3 + 4 u 2 d u =

lim n → 0 ⁡ ∑ i = 0 n x i * 4 + 4 x i * 3 + 4 x i * 2 4 n   = ∑ i = 0 n x i * 4 4 n   + ∑ i = 0 n 4 x i * 3 4 n   + ∑ i = 0 n 4 x i * 2 4 n

Passo 4

Vejamos que x i * = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a → a = 0 → x i * n = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x n

Passo 5

Logo:

∑ i = 0 n i 4 1024 n 5 + ∑ i = 0 n i 3 1024 n 4   + ∑ i = 0 n i 2 256 n 3   =

n n + 1 2 n + 1 3 n 2 + 3 n - 1 30 . 1024 n 5 + n + 1 n 2 4 . 1024 n 4 + 2 n + 1 n + 1 n 6 . 256 n 3

n n + 1 2 n + 1 3 n 2 + 3 n - 1 15 . 512 n 5 + n + 1 n 2 1 . 256 n 4 + 2 n + 1 n + 1 n 3 . 128 n 3 →

lim Δ x ⁡ ∑ i = 0 n i 4 1024 n 5 + ∑ i = 0 n i 3 1024 n 4   + ∑ i = 0 n i 2 256 n 3 = 1024 5 + 256 + 256 3 = 8192 15

Resposta

∫ - 1 3 x 2 - 1 2 d x = 8192 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Aproxime a integral usando (a) a aproximação M 10 pelo ponto médio, (b) a aproximação trapezoidal T 10 e (c) a aproximação pela regra de Simpson S 20 usando a Fórmula (7). Em cada caso, encontre o val
Aproxime a integral usando (a) a aproximação M 10 pelo ponto médio, (b) a aproximação trapezoidal T 10 e (c) a aproximação pela regra de Simpson S 20 usando a Fórmula (7). Em cada caso, encontre o val
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.Exercício 5 ∫ 1 3 e - 2 x d x
Aproxime a integral usando (a) a aproximação M 10 pelo ponto médio, (b) a aproximação trapezoidal T 10 e (c) a aproximação pela regra de Simpson S 20 usando a Fórmula (7). Em cada caso, encontre o val
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar um número n de subintervalos para a aproximação (a) pelo ponto médio M n e (b) trapezoidal T n e (c) pela regra de Simpson S n que garanta que o e