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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 28

Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3).

2 x 2 y - 3 x y 3 + 6 y 2 = 1

Passo 1

Vamos usar derivação termo a termo ou derivação implícita, já que não temos y = f ( x ) .

Passo 2

Vamos derivar termo a termos em relação a x , já que queremos d y d x :

d 2 x 2 y d x - d 3 x y 3 d x + d 6 y 2 d x = d 1 d x = 0

Passo 3

Usando a regra do produto, temos que:

d 2 x 2 y d x = 4 x y + 2 x 2 d y d x

Passo 4

Usando ao regra do produto e a regra da cadeia, temos:

d 3 x y 3 d x = 3 y 3 + 3 x d y 3 d x = 3 y 3 + 3 x 3 y 2 d y d x = 3 y 3 + 9 x y 2 d y d x  

Passo 5

Por fim, usando a regra da cadeia:

d 6 y 2 d x = d 6 y 2 d y d y d x = 12 y d y d x

Passo 6

Por fim, temos que:

4 x y + 2 x 2 d y d x - 3 y 3 - 9 x y 2 d y d x + 12 y d y d x = 0 ⇒ d y d x = 3 y 3 - 4 x y 2 x 2 - 9 x y 2 + 12 y

Resposta

d y d x = 3 y 3 - 4 x y 2 x 2 - 9 x y 2 + 12 y

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