Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 29
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Aplique o método de Newton à equação para deduzir o seguinte algoritmo para a raiz quadrada (usado pelos antigos babilônios para calcular )
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Use a parte (a) para calcular com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
E ai, blzinha?
Que bom que hoje temos calculadoras e super computadores para calcular nossas contas, pois esse método é eficiente, mas também é bem trabalhoso.
Vamos descobrir como os babilônios conseguiram criar esse algoritmo para calcular a raiz quadrada .
E depois vamos estimar a raiz de , com precisão de seis casas decimais.
Primeiro vamos ver um resuminho do Método de Newton é como um jogo de adivinhação inteligente para encontrar o ponto onde uma curva cruza o eixo x, ou outra curva.
Etapas:
Escolha Inicial: Vamos começar com um palpite inicial para o encontro das duas equações.
Iteração: Em cada passo, a gente usa a fórmula para obter uma nova aproximação , onde é a função e é sua derivada.
Convergência: O processo é repetido até que a diferença entre as aproximações sucessivas seja menor que um valor de tolerância pré definido (o critério de parada).
Critérios de Parada: para esse problema, temos a precisão de oito casas decimais!
É como tentar acertar o alvo no escuro, mas a cada tentativa você acende uma luzinha que te deixa mais perto de acertar em cheio!
Também podemos usar o método para encontrar quando duas funções se cruzam, para isso igualamos as duas, e passamos tudo para um único lado igualando a zero, assim podemos aplicar o método e encontrar o valor de nos pontos que há esse cruzamento.
Este método é eficaz quando a função é bem comportada e o palpite inicial está relativamente próximo da raiz verdadeira.
Estão preparados?
Passo 2
- Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
- Usando e , um número razoavelmente próximo de , vamos substituir na fórmula que já encontramos:
Primeiro temos que
Vamos agora precisar de , vamos calcular então!!
Para achar a derivada de vamos usar algumas regras de derivação, da função constante e do polinômio:
Vamos calcular :
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Simplificando
Isolando :
Protinho! Era assim que eles faziam.
Passo 4
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Vamos lá, uma hora acaba, agora :
Prontinho, temos 6 casas repetidas, hora de parar!
Assim,