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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 11

11) Encontre a diferencial da função:

(a) y = x e^(- 4 x)

(b) y = ln sqrt(1 + t^2)

Passo 1

Opa, vamos pra mais uma questão! Esse enunciado é bem direto, precisamos encontrar a diferencial das seguintes funções:

(a) y = x e^(- 4 x)

(b) y = ln sqrt(1 + t^2)

A diferencial de uma função y = f (x) é dada por:

d y = f^' (x) d x

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Começando pela letra (a):

y = x e^(- 4 x)

Como temos uma multiplicação, então:

y^' = e^(- 4 x) (d x)/(d x) + x (d)/(d x) e^(- 4 x)

Para calcular a derivada de e^(- 4 x) usamos a regra da cadeia fazendo u = - 4 x . Então:

(d)/(d x) e^(- 4 x) = (d)/(d u) e^u xx (d ( - 4 x ))/(d x)

(d)/(d x) e^(- 4 x) = e^u xx (- 4)

(d)/(d x) e^(- 4 x) = - 4 e^(- 4 x)

Voltando pra derivada principal:

y^' = e^(- 4 x) + x (- 4 e^(- 4 x))

y^' = e^(- 4 x) (1 - 4 x)

Logo, a diferencial é:

d y = (e^(- 4 x) ( 1 - 4 x )) d x

Passo 3

Agora, vamos derivar a função y = ln sqrt(1 + t^4) usando a regra da cadeia, fazendo u = 1 + t^4 , temos então:

y^' = (d)/(d u) (ln sqrt(u)) (d)/(d t) (1 + t^4)

y^' = (d)/(d u) (ln u^((1)/(2))) (d)/(d t) (1 + t^4)

Temos que:

ln u^((1)/(2)) = (1)/(2) ln u

Então:

y^' = ((1)/(2) (1)/(u)) xx 4 t^3

y^' = (2 t^3)/(u) = (2 t^3)/(sqrt(1 + t^4))

Logo, a diferencial é:

d y = (2 t^3)/(1 + t^4) d t

Prontinho!

Resposta

(a) d y = (e^(- 4 x) ( 1 - 4 x )) d x

(b) d y = (2 t^3)/(1 + t^4) d t

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