11) Encontre a diferencial da função:

(a) y = x \* e^(-4x)

(b) y = ln(raiz(1 + t^2))

Passo 1

Opa, vamos pra mais uma questão! Esse enunciado é bem direto, precisamos encontrar a diferencial das seguintes funções:

(a) y = x e - 4 x

(b) y = ln ⁡ 1 + t 2

A diferencial de uma função y = f x é dada por:

d y = f ' x d x

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Começando pela letra (a):

y = x e - 4 x

Como temos uma multiplicação, então:

y ' = e - 4 x d x d x + x d   d x e - 4 x

Para calcular a derivada de e - 4 x   usamos a regra da cadeia fazendo u = - 4 x . Então:

d   d x e - 4 x = d   d u e u × d ( - 4 x ) d x

d   d x e - 4 x = e u × - 4

d   d x e - 4 x = - 4 e - 4 x

Voltando pra derivada principal:

y ' = e - 4 x + x - 4 e - 4 x

y ' = e - 4 x 1 - 4 x

Logo, a diferencial é:

d y = e - 4 x ( 1 - 4 x ) d x

Passo 3

Agora, vamos derivar a função y = ln ⁡ 1 + t 4 usando a regra da cadeia, fazendo u = 1 + t 4 , temos então:

y ' = d d u ln ⁡ u d d t 1 + t 4

y ' = d d u ln ⁡ u 1 2   d d t 1 + t 4

Temos que:

ln ⁡ u 1 2   = 1 2 ln ⁡ u

Então:

y ' = 1 2 1 u × 4 t 3

y ' = 2 t 3 u = 2 t 3 1 + t 4  

Logo, a diferencial é:

d y = 2 t 3 1 + t 4 d t

Prontinho!

Resposta

(a)   d y = e - 4 x ( 1 - 4 x ) d x

(b) d y = 2 t 3 1 + t 4 d t

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