Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 30

  1. Aplique o método de Newton à equação 1 x - a = 0 para deduzir o seguinte algoritmo para os inversos:

    2. x n + 1 = 2 x n - a x 2 n

    (Esse algoritmo possibilita a um computador achar os inversos sem realmente dividir.)

  2. Use a parte (a) para calcular 1 1,6984 com precisão de seis casas decimais.

Passo 1

  1. Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

    2. x n + 1 = x n - f x n f ' x n

    Primeiro temos que f x = 1 x - a

    Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

    Passo 2

    Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, da função constante e do polinômio:

    c ' = 0

    x n ' = n x n - 1

    Vamos calcular f ' x :

    f ' x = 1 x - a ' = x - 1 - a ' = - 1 x - 1 - 1 - 0 = - x - 2 = - 1 x 2

    Passo 3

    Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

    x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 1 x n - a - 1 x n 2 = x n - 1 x n - a . - x n 2 = x n - - x n 2 x n + a x n 2 = x n - - x n + a x n 2 = x n + x n - a x n 2 = 2 x n - a x n 2

    Passo 4

  2. Usando a = 1,6894 e x 1 = 1 2 = 0,5 , um número razoavelmente próximo de 1 1,6984 , vamos substituir na fórmula:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 1 x 1 - a - 1 x 1 2 = 0,5754

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 1 x 2 - a - 1 x 2 2 ≈ 0,588485

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 1 x 3 - a - 1 x 3 2 ≈ 0,588789

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 1 x 4 - a - 1 x 4 2 ≈ 0,588789

Assim, 1 1,6984 ≈ 0,588789

Resposta

(b)   1 1,6984 ≈ 0,588789

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

28) Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. 99,8
21) Calcule Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y . y = 2 x , x = 4 , Δ x
24) Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. e - 0,015
17)(a) Encontre a diferencial d y (b) Calcule d y para os valores dados de x e d x . y = tg ⁡ x , x = π 4 , d x = - 0,1
22) Calcule Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y . y = e x , x = 0 , Δ x