Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 11
Use o método de Newton para aproximar o número dado com precisão de oito casas decimais.
Passo 1
Fala aí, tudo bem com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto!
Ela pede pra gente usar o método de Newton para aproximar o valor de
com precisão de oito casas decimais.
E para isso, vamos relembrar o que é esse tal método de Newton.
Nele vamos considerar uma reta tangente à curva da função no ponto .
Depois devemos procurar a interseção de como o eixo , que será chamada de e verificar o quão próximo está da interseção da curva com o eixo .
Para encontrar , podemos fazer:
Depois, repetimos o processo, usando como uma segunda aproximação, fazendo:
E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo
E se ficar cada vez mais próxima da raiz de nossa curva à medida que cresce, fizemos que a sequência converge para .
Assim:
Perfeito. Então vamos usar essa ideia para encontrar o que o exercício pediu. E começaremos fazendo uma transformação em
vamos manipular um pouco para achar a função:
E podemos dizer que
Ou melhor.
Agora podemos trabalhar com essa função.
Passo 2
Pronto, temos a nossa função, vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
Vamos precisar de , vamos calcular então!!
Passo 3
Para achar a derivada de vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e a regra do expoente:
Vamos calcular :
Então:
Passo 4
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , e já que já , e é perto de , vamos usar , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:
Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Vamos lá, uma hora acaba, agora :
Vamos achar :
Pronto, o valor não varia mais, então temos que .