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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 38

Calcule a integral definida

int_e^(e^2 ) (1)/(x l n x) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

int a^x d x = (a^x)/(ln a)

Propriedade da exponencial

a^b = e^(b ln (a))

(dica : Pense na integral como uma anti-derivada. )

Passo 2

Fazendo por substituição

U = l n x

du = (1)/(x) dx

Logo nossa integral fica

int_e^(e^2 ) (1)/(x l n x) d x = int_()^ (1)/(u) d u

= ln u

= (ln ( ln ( x ) )|_(x = e)^(e ²)

Passo 3

Aplicando os limites de integração à nossa função :

= ln ( lne²) – ln(ln(e))

= ln(2lne) – ln (1)

= ln 2 – 0

= ln2

Resposta

int_e^(e^2 ) (1)/(x l n x) d x = l n 2

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