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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 72 b

A região do exercício 71 é girada em torno do eixo x e gera um sólido .

b)Mostre que as superfícies interna e externa do sólido têm área infinita.

Passo 1

Vamos calcular primeiro a área da superfície de dentro, beleza?

Sabendo que a área de uma superfície é dada por:

S =       ∫ a b   2 π f x 1 + f ' x 2 d x  

Então é só substituir as informações,

S = ∫ 0 π 2   2   π   s e c x   1 + sec 2 ⁡ x   t g 2 x     d x

Passo 2

Perceba que essa integral é um tanto complicada de se resolver, então vamos tentar comparar ela com uma outra integral e através dela, chegar em nosso resultado, beleza ?

Então se ligue, na ideia: Se eu tenho uma quantidade x   de elementos, é possível ver que

x + 1 > x

Concorda? Então,

∫ 0 π 2   2   π   s e c x   1 + sec 2 ⁡ x   t g 2 x     d x ≥   ∫ 0 π 2   2   π   s e c x   sec 2 ⁡ x   t g 2 x     d x    

Vamos usar essa segunda integral para chegar na nossa resposta. Bora lá. Guarde essa informação ai

∫ 0 π 2   2   π   s e c x   sec 2 ⁡ x   t g 2 x     d x     =     ∫ 0 π 2 2   π   s e c x   sec   ⁡ x   t g x d x   = 2 π ∫ 0 π 2   sec 2 ⁡ x   ⋅ t g x   d x  

Passo 3

Se olharmos para o gráfico direitinho ou só pensarmos um pouquinho a mais, da pra notar que quando x = π 2 , as funções do integrando não estão bem definidas, então, vamos dá uma mudada na integral. Ou seja

∫ 0 π 2   sec 2 ⁡ x   ⋅ t g x   d x =   lim b → π 2 ⁡   ∫ 0 b     sec 2 ⁡ x   ⋅ t g x     d x

Passo 4

Vamos resolver primeiro a primitiva dessa integral, depois aplicamos os limites de integração. Ok?

∫         sec 2 ⁡ x   ⋅ t g x     d x

Fazendo uma substituição de   u = t g x ⟹ d u = sec 2 ⁡ x   .

∫   sec 2 ⁡ x   ⋅ t g x     d x = ∫ u   d u     = u 2 2 + C = t g 2 x 2 + C    

Passo 5

Agora, vamos substituir na integral que precisamos (a do passo 3), mas sem a constante porque temos os limites de integração, ok?

2 π ∫ 0 b     sec 2 ⁡ x   ⋅ t g x     d x =   lim b → π 2 ⁡     2 π t g 2 x 2 0 b =       π   lim b → π 2 ⁡   t g 2 0 - t g 2 b = π   l i m b → π 2   t g 2 b = ∞

Sendo assim,

S = ∫ 0 π 2   2   π   s e c x   1 + sec 2 ⁡ x   t g 2 x     d x ≥   ∫ 0 π 2 2   π   s e c x   sec   ⁡ x   t g x d x = ∞

Ou seja,

S ≥ ∞

Nossa área é infinita.

Passo 6

Da mesma, forma que vamos fazer para a área interna, fechou?

S =   ∫ 0 π 2   2   π t g x       1 + sec 4 ⁡ x       d x ≥   ∫ 0 π 2   2   π   t g x sec 2 ⁡ x   d x   = π   l i m b → π 2   t g 2 x   0 b =   π   l i m b → π 2     t g 2 b -   0 =   π l i m b → π 2   t g 2 b = ∞

Logo, as áreas, interna e externas são infinitas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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