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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 35

Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada.

y = arcsinh ⁡ tan ⁡ x

Passo 1

Para resolver o exercício, vamos aplicar a regra da cadeia:

d f u d x = d f d u ∙ d u d x

Onde,

f = arcsinh ⁡ u

u = tan ⁡ x

Assim,

d arcsinh ⁡ tan ⁡ x d x = d arcsinh ⁡ u d u ∙ d tan ⁡ x d x

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada:

d f d u = d arcsinh ⁡ u d u = 1 u 2 + 1

Já a segunda derivada:

d u d x = d tan ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Juntando as derivadas calculadas:

d arcsinh ⁡ tan ⁡ x d x = d arcsinh ⁡ u d u ∙ d tan ⁡ x d x

d arcsinh ⁡ tan ⁡ x d x = 1 u 2 + 1 ∙ sec 2 ⁡ x

Revertendo para a variável original:

d arcsinh ⁡ tan ⁡ x d x = 1 tan 2 ⁡ x + 1 ∙ sec 2 ⁡ x

Lembrando das relações trigonométricas:

tan 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

Logo,

d arcsinh ⁡ tan ⁡ x d x = 1 sec 2 ⁡ x ∙ sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x

Fim!!!

Resposta

sec ⁡ x

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