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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 36

Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada.

y = arc cos h ⁡ sec ⁡ x ,   0 < x < π / 2

Passo 1

Para resolver o exercício, vamos aplicar a regra da cadeia:

d f u d x = d f d u ∙ d u d x

Onde,

f = arccosh ⁡ u

u = sec ⁡ x

Assim,

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = d arccosh ⁡ u d u ∙ d sec ⁡ x d x

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada:

d f d u = d arccosh ⁡ u d u = 1 u - 1 u + 1

Já a segunda derivada:

d u d x = d sec ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x

Passo 3

Juntando as derivadas calculadas:

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = d arccosh ⁡ u d u ∙ d sec ⁡ x d x

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = 1 u - 1 u + 1 ∙ sec ⁡ x tan ⁡ x

Revertendo para a variável original:

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x - 1 sec ⁡ x + 1 = sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x - 1 sec ⁡ x + 1

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1

Lembrando das relações trigonométricas:

sec 2 ⁡ x - 1 = tan 2 ⁡ x

Logo,

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan 2 ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan ⁡ x = sec ⁡ x

Fim!!!

Resposta

sec ⁡ x

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Determine a derivada de y em relação à variável adequada. y = 1 - tc o t g h - 1 t
Determine a derivada de y em relação à variável adequada. y = cos - 1 ⁡ x - x sech - 1 ⁡ x
Determine a derivada de y em relação à variável adequada. y = ln ⁡ x + 1 - x 2 sech - 1 ⁡ x
Determine a derivada de y em função da variável adequada.
Determine a derivada de y em função da variável adequada.