Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada.

y = arccosh(sec(x)), 0 < x < pi/2

Passo 1

Para resolver o exercício, vamos aplicar a regra da cadeia:

d f u d x = d f d u ∙ d u d x

Onde,

f = arccosh ⁡ u

u = sec ⁡ x

Assim,

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = d arccosh ⁡ u d u ∙ d sec ⁡ x d x

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada:

d f d u = d arccosh ⁡ u d u = 1 u - 1 u + 1

Já a segunda derivada:

d u d x = d sec ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x

Passo 3

Juntando as derivadas calculadas:

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = d arccosh ⁡ u d u ∙ d sec ⁡ x d x

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = 1 u - 1 u + 1 ∙ sec ⁡ x tan ⁡ x

Revertendo para a variável original:

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x - 1 sec ⁡ x + 1 = sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x - 1 sec ⁡ x + 1

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1

Lembrando das relações trigonométricas:

sec 2 ⁡ x - 1 = tan 2 ⁡ x

Logo,

d arccosh ⁡ sec ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan 2 ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan ⁡ x = sec ⁡ x

Fim!!!

Resposta

sec ⁡ x

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Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada.y = arccsch((1/2)^θ)
Determine a derivada de y em relação à variável adequada.y = 1 - t^2 * cotg^(-1)(t)
Determine a derivada de y em relação à variável adequada.y = (1 - t) cotg^(-1)(raiz(t))
Determine a derivada de y em relação à variável adequada.y = cos^(-1)(x) - x * sech^(-1)(x)
Determine a derivada de y em relação à variável adequada.y = ln(x) + raiz(1 - x^2) + sech^(-1)(x)