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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 25

25- Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada.

y = s e n h - 1 x

Passo 1

Para saber a derivada do arco-seno hiperbólico precisamos aplicar a propriedade de derivada de função inversa que pode ser vista no Teorema 3 da seção 3.8:

f - 1 ' x = 1 f ' ( f - 1 x )

Que dá:

s e n h - 1 ' x = 1 ( s e n h ' ( s e n h - 1 x ) = 1 c o s h ⁡ ( s e n h - 1 x )

Da propriedade de trigonometria hiperbólica, temos:

cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 u = 1 → cosh ⁡ x = 1 + s e n h 2 x

Então podemos escrever a derivada da seguinte forma:

s e n h - 1 x ' = 1 1 + s e n h 2 s e n h - 1 x

Só que s e n h s e n h - 1 x = x ,logo:

s e n h - 1 x = 1 x 2 + 1

Passo 2

Se aplicarmos regra da cadeia teremos que :

s e n h - 1 u = 1 u 2 + 1 × d u d x

Logo para u = x teremos:

s e n h - 1   x = 1 x + 1 × d x d x

s e n h - 1   x = 1 x + 1 × 1 2 x = 1 2 x 2 + x

Resposta

1 2 x 2 + x

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