Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 18
Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais é igual a 0 ou para os quais não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais seja igual a 0 ou para os quais não existe.
Derivando a função:
Achando os pontos críticos:
Como a função não existe para , este também é um ponto crítico. Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:
É importante notarmos que a função não está definida para valores maiores e menores que , sendo assim os pontos críticos são:
Passo 2
Usando o teste da derivada segunda:
Pela tabela, podemos ver que ou seja, ponto mínimo e máximo, respectivamente. Pela derivada primeira podemos chegar ao mesmo resultado, já que a função decresce ate -2 e cresce de (-2,2). Depois deste ponto ela decresce, indicando ponto máximo em 2. Para valores menores que 0 temos derivada segunda positiva, concavidade para cima, e negativa para valores maiores (concavidade para baixo).
Desenhando o gráfico da função:
Resposta
Máximo Relativo:
Mínimo Relativo:
Ponto de inflexão: ;
O gráfico possui concavidade para cima para:
O gráfico possui concavidade para baixo para: