Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 17
Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais é igual a 0 ou para os quais não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais seja igual a 0 ou para os quais não existe.
Derivando a função:
Achando os pontos críticos:
Como a função não existe para , este também é um ponto crítico.
Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:
É importante notarmos que a função não está definida para valores menores que -3, sendo assim os pontos críticos são:
Passo 2
Usando o teste da derivada segunda:
Pela tabela, podemos ver que não existe, então não podemos avaliar pelo teste da derivada segunda. A derivada primeira neste ponto também não existe, mas a função decresce para valores maiores que -3, indicando um ponto máximo nesta região. Com concluímos que este é um ponto mínimo. A mesma conclusão podemos chegar olhando a derivada primeira, já que a função decresce ate -2 e cresce em seguida. Para todos os pontos temos concavidade para cima, ou seja, não há pontos de inflexão.
Desenhando o gráfico da função:
Resposta
Máximo Relativo:
Mínimo Relativo:
Não há pontos de inflexão;
O gráfico possui concavidade para cima para: