Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 15
Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais é igual a 0 ou para os quais não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais seja igual a 0 ou para os quais não existe.
Derivando a função:
Achando os pontos críticos:
Como não existe para , este também é um ponto crítico. Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:
Passo 2
Usando o teste da derivada segunda:
Pela tabela, podemos ver que indicando mínimo relativo. Pela derivada primeira chegamos ao mesmo resultado, já que para valores menores que a função é decrescente e crescente para valores maiores. Para os pontos de inflexão, a derivada segunda indica concavidade para cima para valores menores que 3 e para baixo nos valores maiores que 3, indicando que é um ponto de inflexão.
Desenhando o gráfico da função:
Resposta
Mínimo Relativo:
Pontos de inflexão;
O gráfico possui concavidade para cima para:
O gráfico possui concavidade para baixo para: