Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 17
15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
17. Se , então terá um mínimo relativo em .
Passo 1
Então pessoal, para dizermos que a afirmação é falsa temos que encontrar um, apenas um, contra exemplo que refute tal afirmação. Tendo isso em vista, vamos tomar uma função :
Vamos encontrar os pontos críticos dessa função:
Igualando a derivada a zero:
Ok, encontramos nosso ponto crítico em , agora vamos analisar a derivada segunda!
Passo 2
A derivada segunda é:
Sendo assim, temos que a nossa função sempre tem a concavidade para cima, como era de se esperar! No entanto, será que é um mínimo relativo? Vamos analisar os intervalos antes e depois de :
Para temos que:
Ou seja, (crescente). Para temos que:
Ou seja, (crescente). Sabendo disso, não podemos dizer que é um ponto de mínimo, pois a derivada não muda no ponto crítico. Sendo assim, podemos concluir que a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.