15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que f seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

17. Se f''(x) > 0 , então f terá um mínimo relativo em x = 1 .

Passo 1

Então pessoal, para dizermos que a afirmação é falsa temos que encontrar um, apenas um, contra exemplo que refute tal afirmação. Tendo isso em vista, vamos tomar uma função f :

f x = x 2 - 2 x + 1

Vamos encontrar os pontos críticos dessa função:

f ' x = 2 x - 2

Igualando a derivada a zero:

f ' x = 2 x - 2 = 0

x = 1

Ok, encontramos nosso ponto crítico em x = 1 , agora vamos analisar a derivada segunda!

Passo 2

A derivada segunda é:

f ' ' x = 2 > 0

Sendo assim, temos que a nossa função sempre tem a concavidade para cima, como era de se esperar! No entanto, será que x = 1 é um mínimo relativo? Vamos analisar os intervalos antes e depois de x = 1 :

Para x < 1 temos que:

f ' 0 = 0 - 0 + 1 = 1

Ou seja, f ' x > 0 (crescente). Para x > 1 temos que:

f ' 2 = 2 2 - 2.2 + 1 = 1

Ou seja, f ' x > 0 (crescente). Sabendo disso, não podemos dizer que x = 1 é um ponto de mínimo, pois a derivada não muda no ponto crítico. Sendo assim, podemos concluir que a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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