Nos exercícios de 27 a 32, ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça um esboço do gráfico.

3 1 .   2 y 2 = 4 y - 3 x

Passo 1

Vamos reescrever a equação dada de modo que fique da forma   y - h 2 = 4 p x - k , mas primeiro vamos dividir toda equação por 2:

2 y 2 = 4 y - 3 x

y 2 = 2 y - 3 2 x

y 2 - 2 y = - 3 2 x

Passo 2

Completando quadrado dos termos envolvendo y no primeiro membro:

y 2 - 2 y = - 3 2 x

y 2 - 2 y + 1 - 1 = - 3 2 x

y - 1 2 = - 3 2 x + 1

y - 1 2 = - 3 2 x - 2 3

Assim, conseguimos extrair todas as informações que queremos.

Passo 3

Como temos uma equação do tipo:

y + h 2 = - 4 p x - k

Onde h e k representam as coordenadas x e y da parábola, respectivamente, logo nosso vértice é:

V =   2 3 ,   1

Equação do eixo:

Como a equação que obtemos é do tipo:

y - h 2 = - 4 p x - k

Temos que o eixo da parábola é paralelo ao eixo x passando pelo vértice, logo a equação do eixo é dada por:

y = 1

O foco está em:

F = 2 3 + p , 1 ⇒ 4 p = - 3 2 ⇒ p = - 3 8

F = 7 24 ,   1

Como o vértice está no ponto médio entre a reta diretriz e o foco e a distância entre o vértice e o foco é igual a p, assim a distância entre o vértice e a reta diretriz é igual p.

A reta diretriz nesse caso, levando em conta o tipo de equação que temos, é paralela ao eixo y. Assim temos que a equação da reta diretriz é:

2 3 - p = 2 3 - - 3 8 = 25 24

x = 25 24

Passo 4

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Vértice:

V =   2 3 ,   1

Foco:

F = 7 24 ,   1

Equação do eixo:

y = 1

Equação da diretriz:

x = 25 24

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