Nos exercícios de 27 a 32, ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça um esboço do gráfico.

28 .   4 x 2 - 8 x + 3 y - 2 = 0

Passo 1

Vamos reescrever a equação dada de modo que fique da forma   x - h 2 = 4 p y - k , mas primeiro vamos dividir toda equação por 4:

4 x 2 - 8 x + 3 y - 2 = 0

x 2 - 2 x + 3 4 y - 1 2 = 0

x 2 - 2 x = - 3 4 y + 1 2

Passo 2

Completando quadrado dos termos envolvendo x no primeiro membro:

x 2 - 2 x = - 3 4 y + 1 2

x 2 - 2 x + 1 - 1 = - 3 4 y + 1 2

x - 1 2 = - 3 4 y + 1 2 + 1

x - 1 2 = - 3 4 y + 3 2

x - 1 2 = - 3 4 ( y - 2 )

Assim, conseguimos extrair todas as informações que queremos.

Passo 3

Como temos uma equação do tipo:

x + h 2 = - 4 p y - k

Onde h e k representam as coordenadas x e y da parábola, respectivamente, logo nosso vértice é:

V =   1 ,   2

Equação do eixo:

Como a equação que obtemos é do tipo:

x - h 2 = 4 p y - k

Temos que o eixo da parábola é paralelo ao eixo y passando pelo vértice, logo a equação do eixo é dada por:

x = 1

O foco está em:

F = 1 ,   2 + p ⇒ 4 p = - 3 4 ⇒ p = - 3 16

F = 1 ,   29 16

Como o vértice está no ponto médio entre a reta diretriz e o foco e a distância entre o vértice e o foco é igual a p, assim a distância entre o vértice e a reta diretriz é igual p.

A reta diretriz nesse caso, levando em conta o tipo de equação que temos, é paralela ao eixo x. Assim temos que a equação da reta diretriz é:

2 - p = 2 - - 3 16 = 35 16

y = 35 16

Passo 4

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Vértice:

V =   1 ,   2

Foco:

F = 1 ,   29 16

Equação do eixo:

x = 1

Equação da diretriz:

y = 35 16

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