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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 59

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = cos ⁡ ( 2 θ ) ,   θ = π / 4

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente aqui quer encontrar a inclinação da reta tangente a curva polar dada por:

r = cos ⁡ 2 θ

Isso no ponto:

θ = π 4

A inclinação da reta tangente à uma função é dada pelo valor de sua primeira derivada, mas para equações polares não basta derivar a função r em relação a θ , precisamos calcular o nosso amado y ' ( x ) , para isso basta que usemos a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Essa fórmula é a fórmula da inclinação da reta tangente. Você já a utilizou outras vezes, ela é assim aqui pois estamos trabalhando com a curva polar.

Quando realizarmos essa derivada e as substituições na equação acima, deveremos aplicar o ponto:

θ = π 4

A equação e assim encontrarmos o valor da inclinação neste local.

Passo 2

Apesar de não ser só calcular d r d θ , vamos ter que calcular ele mesmo assim, hehe

r = cos ⁡ 2 θ

Para derivar isso é s�� não esquecer da regra da cadeia

d r d θ = d d u cos ⁡ u ⋅ d d θ 2 θ

d r d θ = - sen ⁡ 2 θ ⋅ 2

d r d θ = - 2 sen ⁡ 2 θ

Passo 3

Agora substituímos o nosso d r d θ na equação

d y d x = ( - 2 sen ⁡ 2 θ ) sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ ( - 2 sen ⁡ 2 θ ) cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Substituindo também r = cos ⁡ 2 θ

d y d x = ( - 2 sen ⁡ 2 θ ) sen ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ ( - 2 sen ⁡ 2 θ ) cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ

Por fim vamos substituir o ponto que o enunciado manda θ = π 4

d y d x = - 2 sen ⁡ 2 π 4 sen ⁡ π 4 + cos ⁡ 2 π 4 cos ⁡ π 4 - 2 sen ⁡ 2 π 4 cos ⁡ π 4 - cos ⁡ 2 π 4 sen ⁡ π 4

d y d x = - 2 1 2 2 + ( 0 ) 2 2 - 2 ( 1 ) 2 2 - 0 2 2

d y d x = - 2 2 2 - 2 2 2 = 1

Resposta

d y d x = 1

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