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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 58

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = cos ⁡ ( θ / 3 ) ,   θ = π

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente aqui quer encontrar a inclinação da reta tangente a curva polar dada por:

r = cos ⁡ θ 3

Isso no ponto:

θ = π

A inclinação da reta tangente à uma função é dada pelo valor de sua primeira derivada, mas para equações polares não basta derivar a função r em relação a θ , precisamos calcular o nosso amado y ' ( x ) , para isso basta que usemos a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Essa fórmula é a fórmula da inclinação da reta tangente. Você já a utilizou outras vezes, ela é assim aqui pois estamos trabalhando com a curva polar.

Quando realizarmos essa derivada e as substituições na equação acima, deveremos aplicar o ponto:

θ = π

A equação e assim encontrarmos o valor da inclinação neste local.

Passo 2

Apesar de não ser só calcular d r d θ , vamos ter que calcular ele mesmo assim, hehe

r = cos ⁡ θ 3

Para derivar isso é só não esquecer da regra da cadeia

d r d θ = d d u cos ⁡ u ⋅ d d θ θ 3

d r d θ = - sen ⁡ θ 3 ⋅ 1 3

d r d θ = - sen ⁡ θ 3 3

Passo 3

Agora substituímos o nosso d r d θ na equação

d y d x = - sen ⁡ θ 3 3 sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 3 3 cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Substituindo também o r = cos ⁡ ( θ / 3 )

d y d x = - sen ⁡ θ 3 3 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 3 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 3 3 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 3 sen ⁡ θ

Agora é só substituir θ = π e simplificar o que der

d y d x = - sen ⁡ π   3 3 sen ⁡ π   + cos ⁡ π 3 cos ⁡ π   - sen ⁡ π   3 3 cos ⁡ π   - cos ⁡ π   3 sen ⁡ π  

d y d x = - 3 2 3 ( 0 ) + 1 2 ( - 1 ) - 3 2 3 ( - 1 ) - 1 2 ( 0 )

d y d x = - 1 2 3 6

Fazendo a divisão de fração

d y d x = - 1 2 ⋅ 6 3

d y d x = - 3 3

Multiplicando por 3 em cima e em baixo

d y d x = - 3 3 ⋅ 3 3

d y d x = - 3 3 3

d y d x = - 3

Resposta

d y d x = - 3

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