Enunciado

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = 2 x , y = 2 - x   e   y = 4

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

A integral que devemos resolver será:

A = ∫ - 2 0 4 - 2 - x d x + ∫ 0 2 4 - 2 x d x

É necessário dividirmos em duas integrais por causa da mudança da curva inferior (saindo de 2 - x para 2 x , a depender do valor de x ). Entretanto, temos regiões iguais. Por causa disto, podemos transformas as 2 integrais em apenas 1 através da seguinte relação:

A = 2 ⋅ ∫ 0 2 4 - 2 x d x

Agora, só nos basta calcular!

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ 0 2 4 - 2 x d x

4 x - 2 x ln ⁡ 2 0 2 = 8 - 4 ln ⁡ 2 - 0 - 1 ln ⁡ 2

8 - 3 ln ⁡ 2

Portanto, a área da nossa região é:

A = 2 ⋅ 8 - 3 ln ⁡ 2   u . a .

Resposta

A = 2 ⋅ 8 - 3 ln ⁡ 2   u . a .

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