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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 36b

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

36 – A região limitada por y = 2 x - x 2   e   y = x , em torno:

B – Da reta x = 1.

Passo 1

Vamos entender primeiramente o que o gráfico nos implica:

A parte verde foi gerada através do gráfico da função: y =   2 x - x 2 e a parte preta foi gerada através do gráfico da função: y = x , assim a união das figuras geram a imagem mostrada acima.

Deste modo temos que nas coordenada de y a figura é limitada a = 0   e   b = 1

Já para as coordenadas de x ela está limitada em a = 0   e   b = 1

Este será nosso limite de integração através dos eixos, porém temos que ter em mente que quando a figura rotaciona em torno de um eixo seus valores mudam, porém as funções já estabelecidas no enunciado estão em torno do eixo y.

Deste modo, não precisaremos mudar as expressões, vamos lá?

Passo 2

Resolver em torno do eixo y – Da reta x = 1:

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 0 1 ( 1 - x ) 2 x - x 2 - x d x

V = 2 π ∫ 0 1 x 3 - 2 x 2 + x   d y  

Resolvendo a integral teremos:

2 π x 4 4 - 2 x 3 3 + x 2 2 0 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 1 4 4 - 2 ⋅ 1 3 3 + 1 2 2 - 0 = 2 π 1 4 - 2 3 + 1 2 = 2 π 3 - 8 + 6 12 = 2 π 1 12

Resolvendo dentro dos colchetes:

2 π 1 12 = 2 π 1 2 = π 6   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

π 6   u . v .

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