Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 33ab
Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a
taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por ou, equivalentemente,
calculada em x = x1.
33. O rendimento anual bruto de uma empresa t anos a partir de 1º de janeiro de 1988 é p milhões e
- Ache a taxa em que o rendimento bruto estava crescendo em 1º de janeiro de 1990;
- Ache a taxa de crescimento relativo do rendimento bruto em 1º de janeiro de 1990 com aproximação de um-décimo da percentagem.
Passo 1
A função fornecida nada mais é que a função rendimento de uma empresa. Achar a taxa de crescimento desse rendimento nada mais é que achar a função de rendimento marginal, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.
Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado:
Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “a” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.
Por isso a aproximação de um- décimo de porcentagem pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.
Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de janeiro de 1988, logo até o dia 1º de janeiro de 1990 só se passaram 2 anos, assim t = 2 será o instante avaliado.
Passo 2
Primeiro vamos derivar a função p para encontrar a função rendimento marginal:
Passo 3
Agora substituindo t = 2 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento do rendimento bruto:
Passo 4
Agora para resolver o item “b” vamos calcular somente p(2), já que o p’(2) já foi calculado no item “a”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:
Substituindo na fórmula do enunciado:
Resposta
- A taxa em que o rendimento bruto estava crescendo em 1º de janeiro de 1990 era de 3,6 milhões ao ano.
- A taxa de crescimento relativo em 1º de janeiro de 1990 é de 23,1%.