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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 36

Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.

36. f x ,   y = x 2 + y 2 + 1   ; no círculo x 2 + y 2 ≤ 1 .

Passo 1

Então pessoal, se esboçarmos o círculo indicado, teremos o seguinte:

A primeira análise que teremos que fazer é se há pontos críticos no interior do domínio do círculo. Para fazermos isso, devemos derivar parcialmente a função que nos foi dada em relação a x e a y e depois igualar a zero, saca só:

∂ f ∂ x = 1 2 x 2 + y 2 + 1 - 1 2 . 2 x = x x 2 + y 2 + 1  

Para y :

∂ f ∂ y = 1 2 x 2 + y 2 + 1 - 1 2 . 2 y = y x 2 + y 2 + 1  

x x 2 + y 2 + 1   = 0 y x 2 + y 2 + 1   = 0

Das equações temos que o ponto 0 ,   0 é um ponto crítico no interior do domínio! Dessa forma:

f 0 ,   0 = 1

Passo 2

Agora que analisamos o interior da região, agora temos que analisar a fronteira da mesma. Como se trata de uma circunferência, então para a fronteira temos todos os pontos tais que x 2 + y 2 = 1 . Para todos esses pontos vamos sempre obter o mesmo resultado ou imagem igual a:

f x ,   y = x 2 + y 2 + 1   = 1 + 1 = 2

Sendo assim, em resumo temos o seguinte resultado:

O ponto ( 0 ,   0 ) é ponto de mínimo e tem valor de 1 e todos os pontos da fronteira são pontos de máximo e o valor máximo é de 2 .

E está aí nossa análise dos máximos e mínimos da função que nos foi dada!

Resposta

Ponto de mínimo: 0 ,   0 , valor: 1 ;

Pontos de máximo: x 2 + y 2 = 1 , valor: 2 .

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