Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 40

Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.

40. ; , .

Passo 1

Então pessoal, se esboçarmos o gráfico do domínio que queremos analisar, teremos:

Antes de analisarmos a fronteira da região vamos analisar os pontos críticos em seu interior, jóia? Sendo assim, derivando parcialmente a função que nos foi dada e igualando-a a zero, teremos:

Dessa forma:

Logo, temos que é um ponto crítico no interior do quadrado!

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico que encontramos é ponto de máximo, mínimo ou se é ponto de sela, devemos encontrar o determinante Hessiano, dado da seguinte forma:

Então temos que encontrar essas derivadas parciais aí! Sendo assim:

Substituindo, teremos:

Dessa forma, pelas proposições estudadas, temos que se o determinante resulta em um valor negativo, então o ponto crítico em questão é um ponto de sela!

Passo 3

Ufa! A primeira parte da análise foi concluída, que é a análise do interior. Agora teremos que analisar a fronteira! Para o segmento temos que , sendo assim:

Derivando:

Substituindo os pontos na nossa função, obteremos:

Sendo assim, pelos resultados que obtivemos, podemos concluir que os pontos e são pontos de mínimo e apresentam o valor de e os pontos e são pontos de máximo e apresentam o valor de .