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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 31

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para iniciar o exercício, pode-se reescrever a integral fazendo as devidas substituições trigonométricas:

I = ∫ 1 cos 4 ⁡ t cos 6 ⁡ t s e n 6 t s e n 8 t   d t

Tal que:

I = ∫ s e n 2 t   c o s 2 t   d t = ∫ s e n t   c o s t 2 d t

Ainda, pode-se utilizar da identidade trigonométrica:

s e n 2 x = 2 s e n x   c o s x

Ou seja:

I = ∫ s e n 2 t 2 2 d t

I = 1 4 ∫ s e n 2 2 t d t

Passo 2

Agora, deve-se lembrar de outra identidade trigonométrica:

s e n 2 n x = 1 - cos ⁡ 2 n x 2

Com isso:

I = 1 4 ∫ 1 - cos ⁡ 4 t 2 d t = 1 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 t d t

Passo 3

Então, resolvendo a integral:

I = 1 8 t - s e n 4 t 4 + C

I = 1 8 t - 1 32 s e n 4 t + C

Resposta

1 8 t - 1 32 s e n 4 t + C

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