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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 37

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ 1 / 12 1 / 4 2 d t t + 4 t t

Passo 1

Vamos começar mudando a variável.

u = 2 t

Derivando dos dois lados:

d u = d t t

Agora precisamos transformar os limites superior e inferior para a nova variável:

t = 1 / 12 → u = 2 1 12 = 1 / 3

t = 1 / 4 → u = 2 1 4 = 1

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ 1 / 12 1 / 4 2 d t t + 4 t t = ∫ 1 / 12 1 / 4 2 d t t 1 + 4 t = ∫ 1 / 12 1 / 4 2 1 + 4 t ∙ d t t = ∫ 1 / 3 1 2 d u 1 + u 2

Calculando a integral:

2 ∫ 1 / 3 1 d u 1 + u 2 = 2 arctan ⁡ u 1 / 3 1 = 2 arctan ⁡ 1 - 2 arctan ⁡ 1 3 = 2 π 4 - 2 π 6

2 ∫ 1 / 3 1 d u 1 + u 2 = 6 π - 4 π 12 = π 6

Resposta

π / 6

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