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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 9m

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando.

∫ 1 + e x d x

Passo 1

Pra eliminar essa, vamos pensar em uma função que substituída ali dentro consiga ser tirada da raiz. Bom, concorda comigo que se a gente substituir o termo todo que tá dentro da raiz por um quadrado, acabou o problema? Tipo assim:

1 + e x = u 2

Vamos pegar u positivo, já que isso não muda em nada a nossa substituição! Derivando,

e x d x = 2 u d u

E esse e x que ficou sobrando pode virar:

e x = u 2 - 1

Então,

d x = 2 u d u u 2 - 1

Passo 2

Substituindo lá:

I = 1 + e x d x

I = u 2 × 2 u d u u 2 - 1

Tirando o u 2 de dentro da raiz, já que estamos considerando o u como positivo:

I = u × 2 u d u u 2 - 1

Arrumando a casa:

I = 2 u 2 u 2 - 1 d u

Prontinho, sumimos com a raiz!

Resposta

1 + e x = u 2

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