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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 9h

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando.

∫ x 2 - 3 x 2 d x

Passo 1

Pra eliminar essa, vamos pensar em uma função que substituída ali dentro consiga ser tirada da raiz. Galera, no geral, quando tem uma constante menos uma parada em x , a melhor idéia é substituir x por uma um múltiplo de um seno, de forma que o coeficiente dos dois termos fique igual. Se liga como isso dá certo!

x = k s e n t

Derivando,

d x = k c o s ( t ) d t

Passo 2

Substituindo lá:

I = x 2 - 3 x 2 d x = k s e n t 2 - 3 k 2 s e n 2 t × k c o s ( t ) d t

I = k 2 s e n t c o s t 2 - 3 k 2 s e n 2 t d t

Agora vamos fazer os coeficientes dos termos dentro da raiz serem iguais:

2 = 3 k 2

k = 2 3

Então vamos ficar com:

I = 2 3 s e n t c o s t 2 - 2 s e n 2 t d t

I = 2 3 s e n t c o s t 2 cos 2 ⁡ t   d t

Que vai ficar:

I = 2 3 s e n t cos ⁡ t cos ⁡ t d t

I = 2 3 s e n ( t ) d t

Prontinho, tiramos a raiz do integrando! Então a substituição é:

x = 2 3 s e n ( t )

Resposta

x = 2 3 s e n ( t )

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