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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 9j

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando.

∫ x 2 3 x 2 - 2 d x

Passo 1

Pra eliminar essa, vamos pensar em uma função que substituída ali dentro consiga ser tirada da raiz. Galera, no geral, quando tem uma parada em x menos uma constante, a melhor idéia é substituir x por uma um múltiplo de uma secante, de forma que o coeficiente dos dois termos fique igual. Se liga como isso dá certo!

x = k s e c t

Derivando,

d x = k s e c t t g ( t ) d t

Passo 2

Substituindo lá:

I = x 2 3 x 2 - 2 d x = k 2 s e c 2 t 3 k 2 sec 2 ⁡ t - 2 × k s e c t t g ( t ) d t

I = k 3 sec 3 ⁡ ( t ) t g t 3 k 2 sec 2 ⁡ t - 2 d t

Agora vamos fazer os coeficientes dos termos dentro da raiz serem iguais:

3 k 2 = 2

k = 2 3

Então vamos ficar com:

I = 8 27 sec 3 ⁡ t t g ( t ) 2 sec 2 ⁡ t - 2 d t

I = 8 27 sec 3 ⁡ t t g ( t ) 2 sec 2 ⁡ t - 2 d t

Que vai ficar:

I = 8 27 sec 3 ⁡ t t g ( t ) 2 t g 2 ( t ) d t

I = 2 2 3 3 sec 3 ⁡ t t g t 2 t g t d t

Simplificando:

I = 2 3 3 sec 3 ⁡ t d t

Prontinho, tiramos a raiz do integrando! Então a substituição é:

x = 2 3 s e c ( t )

Resposta

x = 2 3 s e c ( t )

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