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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 46

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ x 1 - x 3 d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável.

u = x 3 / 2

x = u 2 / 3

Derivando dos dois lados:

d x = 2 3 u - 1 / 3 d u

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ x 1 - x 3 d x = ∫ u 2 / 3 1 - u 2 / 3 3 ∙ 2 3 u 1 / 3 d u = 2 3 ∫ u 2 / 3 1 - u 2 / 3 3 u 1 / 3 d u

2 3 ∫ u 2 / 3 1 - u 2 / 3 3 u 1 / 3 d u = 2 3 ∫ u 1 / 3 1 - u 2 u - 1 / 3 d u = 2 3 ∫ d u 1 - u 2

Fazendo mais uma mudança de variável:

u = sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = cos ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

2 3 ∫ d u 1 - u 2 = 2 3 ∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sin 2 ⁡ θ

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Assim,

2 3 ∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sin 2 ⁡ θ = 2 3 ∫ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ = 2 3 ∫ cos ⁡ θ d θ cos ⁡ θ = 2 3 ∫ d θ

Passo 3

Calculando a integral:

2 3 ∫ d θ = 2 3 θ + C

Revertendo para a variável original:

2 3 θ + C = 2 3 arcsin ⁡ u + C = 2 3 arcsin ⁡ x 3 / 2 + C

Resposta

2 3 arcsin ⁡ x 3 / 2 + C

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