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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 68

Calcular a integral definida:

int_0^1 (d x)/(sqrt(3 x^2 + 2))

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (d x)/(sqrt(3 x^2 + 2))

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = sqrt(3) x

d u = sqrt(3) d x

Substituindo temos:

int (d x)/(sqrt(3 x^2 + 2)) = int (d u)/(sqrt(3) sqrt((3 u^2)/(3) + 2)) = (1)/(sqrt(3)) int (d u)/(sqrt(u^2 + 2))

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer u = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

u = sqrt(2) tg theta

d u = sqrt(2) sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

(1)/(sqrt(3)) int (d u)/(sqrt(u^2 + 2)) = (1)/(sqrt(3)) int (sqrt(2) sec^2 theta)/(sqrt(2 tg^2 theta + 2)) d theta = (1)/(sqrt(3)) int (sqrt(2) sec^2 theta)/(sqrt(2 (tg^2 theta + 1))) d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

(1)/(sqrt(3)) int (sqrt(2) sec^2 theta)/(sqrt(2 (tg^2 theta + 1))) d theta = (1)/(sqrt(3)) int (sqrt(2) sec^2 theta)/(sqrt(2 sec^2 theta)) d theta = (1)/(sqrt(3)) int (sqrt(2) sec^2 theta)/(sqrt(2) sec theta) d theta = (1)/(sqrt(3)) int sec theta d theta

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

Aplicando:

(1)/(sqrt(3)) int sec theta d theta = (1)/(sqrt(3)) ln |sec theta + tg theta| + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int (d x)/(sqrt(3 x^2 + 2)) = (1)/(sqrt(3)) int (d u)/(sqrt(u^2 + 2)) = (1)/(sqrt(3)) int sec theta d theta = (1)/(sqrt(3)) ln |sec theta + tg theta| + C

Temos que u = sqrt(2) tg theta , ou seja, tg theta = (u)/(sqrt(2)) assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo:

Assim o valor de sec theta é:

sec theta = (1)/(cos theta) = (1)/((sqrt(2))/(sqrt(u^2 + 2))) = (sqrt(u^2 + 2))/(sqrt(2))

Pronto, ficamos então com:

int (d x)/(sqrt(3 x^2 + 2)) = (1)/(sqrt(3)) ln |sec theta + tg theta| + C = (1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(u^2 + 2))/(sqrt(2)) + (u)/(sqrt(2))| + C =

= (1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(3 x^2 + 2))/(sqrt(2)) + (sqrt(3) x)/(sqrt(2))| + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_0^1 (d x)/(sqrt(3 x^2 + 2)) = ((1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(3 x^2 + 2))/(sqrt(2)) + (sqrt(3) x)/(sqrt(2))|)_0^1 =

= (1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(3 * 1^2 + 2))/(sqrt(2)) + (sqrt(3) * 1)/(sqrt(2))| - ((1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(3 * 0^2 + 2))/(sqrt(2)) + (sqrt(3) * 0)/(sqrt(2))|) =

= (1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(3 + 2))/(sqrt(2)) + (sqrt(3))/(sqrt(2))| - ((1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(2))/(sqrt(2))|) = (1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(5) + sqrt(3))/(sqrt(2)) +| - ((1)/(sqrt(3)) ln |1|) =

= (1)/(sqrt(3)) ln |(sqrt(5) + sqrt(3))/(sqrt(2))| - ((1)/(sqrt(3)) * 0) = (1)/(sqrt(3)) ln ((sqrt(5) + sqrt(3))/(sqrt(2)))

Resposta

int_0^1 (d x)/(sqrt(3 x^2 + 2)) = (1)/(sqrt(3)) ln ((sqrt(5) + sqrt(3))/(sqrt(2)))

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